Развернутая позиция платоновской школы представлена в более позднем тексте Прокла “Комментарий к первой книге “Начал” Евклида (см. этот текст на сайте (http://cyrill.newmail.ru/index2.html) “Библиотеки античной литературы” — http://cyrill.newmail.ru/procl_euclid_1.txt; http://cyrill.newmail.ru/procl_2.txt).

Аристотель же выделяет три типа форм, или три типа абстракции (см. концовку фрагмента, приведенного чуть ниже; выделено жирным мной — К.С.): 1. форма физическая, или форма телесная (NB: это тоже абстракция, т.к. здесь абстрагируются от конкретной вещи); 2. форма математическая (отвлечение от телесности и движения), изучение общего, или количества; 3. форма метафизическая — изучение сущего самого по себе (ср. с различением из “Метафизики” о том, что физика изучает сущее как оно причастно к движению, а метафизика — сущее само по себе)

Однако рассуждающий о природе и диалектик по-разному определили бы каждое из этих состояний души… Последний приводит в объяснение материю, первый — форму и сущность, выраженную в определении (logos). Ведь сущность вещи, выраженная в определении, есть ее форма, и если вещь имеется, то форма необходимо должна находиться в определенной материи; например, сущность дома, выраженная в определении, такова: дом есть укрытие, защищающее от разрушительных действий ветров, дождей и жары; другой же скажет, что дом состоит из камней, кирпичей и бревен, а третий будет говорить о форме в них, имеющей такие-то цели. Итак, кто из них есть рассуждающий о природе? Тот ли, кто касается лишь материи, не обращая внимания на выраженную в определении сущность, или тот, кто касается только ее? Или же скорее тот, кто исходит из того и другого? Но кто же такой в таком случае каждый из первых двух? Разве есть такой, кто изучал бы состояния материи, не отделимые от нее, и не рассматривал бы их как отделимые? Рассуждающий же о природе изучает все виды деятельности и состояния такого-то тела и такой-то материи. А то, что не таково, изучает другой, при случае — сведущий в искусстве, например строитель или врачеватель; свойства же, которые хотя и неотделимы от тела, но, поскольку они не состояния определенного тела и берутся отвлеченно от тела, изучает математик (выделено мной — К.С.); отделенное же от всего телесного как таковое изучает тот, кто занимается первой философией.

====================================

Главная Ваша задача заключается в том, чтобы продумать категориальный базис современной математики, или вычислительной математики (если Вы считаете, что вычислительная математика принципиально отличается от математики). При написании своих работ можно обратиться к опыту осмысления проблематики математической реальности студентами прошлых лет (см. форум “Философские проблемы математики” http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil09).

Попробуйте выделить основные “составляющие” этого базиса, т.е. основные концепты математики. Видимо, к ним можно отнести понятия ЧИСЛА, МНОЖЕСТВА, ИНФОРМАЦИИ, АЛГОРИТМА. Дайте свою характеристику важнейших (или важнейшего) концепта (конечно, для этого не надо просто переписать его определение из какого-либо учебника!).  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ðàáîòû ó÷àñòíèêîâ âñåðîññèéñêîãî ñåìèíàðà ïî ôèëîñîôèè, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû íà www.philosophy.ru — http://www.philosophy.ru/library/math/. Ñì. âûïóùåííûå ñáîðíèêè “Áåñêîíå÷íîñòü â ìàòåìàòèêå” (1997), “Ñîöèîêóëüòóðíàÿ ôèëîñîôèÿ ìàòåìàòèêè” (1999) (ñòàòüè àâòîðîâ ñáîðíèêà íàõîäÿòñÿ â äèðåêòîðèè http://www.philosophy.ru/library/fm/) è ìàòåðèàëû ê íîâîìó ñáîðíèêó “Ìàòåìàòèêà è îïûò”, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â äèðåêòîðèè ../library/math/.

Помимо уже упомянутой выше античной (пифагоро-платоновской) концепции ЧИСЛА, представленной в тексте Прокла “Комментарий к первой книге “Начал” Евклида (см. этот текст на сайте (http://cyrill.newmail.ru/index2.html) “Библиотеки античной литературы” — http://cyrill.newmail.ru/procl_euclid_1.txt; http://cyrill.newmail.ru/procl_2.txt), здесь рекомендуется освоить основополагающую работу Г. Фреге “Основоположения арифметики” (логико-математическое исследование о понятии числа). См. также другие его работы, представленные в директории ../library/physics // раздел “Философские проблемы математики…”. См. также мою работу “О концепте ЧИСЛА”, а также тексты участников всероссийского семинара по философии математики, которые представлены на http://www.philosophy.ru/library/math/. Можно рекомендовать работы прошлогодней конференции “Математика и опыт”, а также статьи этого года (2002 г.), посвященные понятию ЧИСЛА (эти работы находятся в директории: http://www.philosophy.ru/library/math/number/). Например, интересна статья С.Н. Бычкова “КАК ЧИСЛА СТАЛИ АБСТРАКТНЫМИ?”

Здесь основополагающими являются работы Г. Кантора по теории множеств, представленные в его сборнике работ “Труды по теории множеств” (1985) (см. также работы, посвященные осмыслению взглядов Кантора: (1) Медведев Ф.А. “Развитие теории множеств в XIX в”; Катасонов В.Н. “Боровшийся с бесконечным” (1999)). Более современная трактовка понятия множества как класса дана в работе Б. Рассела “Введение в математическую философию” (глава “Классы”).

Различные (канторовские) трактовки понятия множества можно найти в работе Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств (http://www.philosophy.ru/library/math/bytc_kantor.html;см. также zip-файл док. Word-6: http://www.philosophy.ru/library/math/bytc_kantor.zip; см. подборку этих определений из работ Кантора в приложении). В моих работах “Теоретико-множественная парадигма современной математики и ее альтернативы”, “О различении отрицаний” обсуждается проблема различных интерпретаций понятия множества, а также концептуальное различие между понятиями канторовского множества и расселовского класса (см. прил.)

В данном случае можно отослать к работам основоположника кибернетики Н. Винера, а также к классическим работам К. Шеннона, А.Н. Колмогорова по теории информации. Интересна в этой связи и работа советского мыслителя Ф.В. Турчина, создателя языка “Рефал”, который в своем “Кибернетическом манифесте” выразил оригинальное понимание кибернетического подхода в качестве общекультурной парадигмы (см. также его более основательный текст “Феномен науки” (http://refal.net/turchin/phenomenon/index.htm), в которой он развивает (кибернетическую) концепцию “метасистемных переходов”).

В философском плане интересно соотношение концептов “информация” и “знание”. В качестве начальной проработки можно рекомендовать мой текст “Знание и информация” (http://www.philosophy.ru/library/physics/know_and_inf.doc), в которой сформулированы некоторые ключевые вопросы (проблемы) по этой теме.

Здесь следует напомнить, что понятие алгоритма (и, соответственно, название “алгебры”) восходит к имени известного средневекового мыслителя Средней Азии Аль-Хорезми.

В философском плане было бы интересно осмыслить соотношение алгебры и арифметики и “выявить” место алгебры в составе традиционного (идущего с античности) понимания математики как симбиоза арифметики и геометрии. Об этой проблеме размышляет один из крупнейших математиков XX столетия Г. Вейль в своей “Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике”. Из более современной проработки этой темы можно выделить подход И. Øàôàðåâè÷à (ñì. “ââåäåíèå” ê ðàáîòå “Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû”: http://rcd.ru:8101/books/pdf/soderzh/shafar.zip)

При осмыслении понятия АЛГОРИТМА можно обратиться к работе А.А. Маркова и Н.М. Нагорного “Теория алгорифмов”, к статьям Н.А. Шанина (глава ленинградской школы конструктивной математики; его статьи можно найти в Инете). Интересны также работы по С.Ю. Маслова “Теория дедуктивных систем и ее применения” (1986), Дж. Булос и Р. Джеффри “Логика и вычислимость” (1994), А. Черч “Введение в математическую логику” (1961) (логическая проработки темы вычислимости), Е.Д. Смирновой “Логика и философия” (1996; логико-философская проработка темы).

Из более современных алгоритмических проблем можно выделить так называемую P-NP — проблему (см. ее изложение и подходы к ее решению в книге Гэри М., Джонсон Д. “Вычислительные машины и трудно решаемые задачи” (1982)) и квантовые вычисления (см. подборку статей на странице ../library/physics/; или on-line журнал “Квантовые компьютеры и вычисления” http://rcd.ru/qc/contents/v99-2_r.html; èëè ñàéò Ìîñêîâñêîãî Öåíòðà Íåïðåðûâíîãî Ìàòåìàòè÷åñêîãî Îáðàçîâàíèÿ (www.mccme.ru).

Список текстов по проблемам философии математики приведен на моей учебной web-странице в разделе “Философские проблемы науки, математики логики”

ПРИЛОЖЕНИЕ. Канторовский подход к введению понятия множества

(фрагмент из: Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств)

« Под “многообразием” или “множеством” я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона, и таким образом я думаю определить нечто, родственное платоновскому e ίd o V ... Он [Платон] противопоставляет его αp e i r o n ’у, т.е. безграничному, неопределенному, называемому мною несобственно бесконечным, равно как и p e r a V ’у, т.е. границе, и называет его упорядоченной смесью этих последних» (Кантор 1985, с.101).

Серия “философских” определений понятия множества содержится также в переписке Кантора с Давидом Гильбертом (1897-1900 гг.). В одном из писем Кантор характеризует завершенное множество так: “Я говорю о множестве как о завершенном — и такие множества, если они содержат бесконечно много элементов, я называю “трансфинитными”... — если возможно (как в случае конечных множеств) все их элементы мыслить без противоречия как некоторую целостность. Таким образом, множество должно мыслиться как единая вещь в себе, т.е. должна существовать возможность помыслить множество как актуально существующую целостность всех его элементов... По этой причине слово “множество” (когда оно конечно или трансфинитно) я перевел на французский язык как “ensemble”, а на итальянский — как “insieme”…” (2.10.1897; Purkert 1989, p.61).

В своей итоговой работе “К обоснованию учения о трансфинитных множествах” (1895) Кантор дает ставшее классическим определение понятия МНОЖЕСТВА:

« Под “множеством” мы понимаем соединение в некое целое М определенных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться “элементами” множества М)» (Кантор, 1985, 173).

Что такое множество? (заметка от 8.03.2002 г.)

Для концептуального анализа понятия множества необходимо разобрать “составляющие” этого концепта. Формульно множество задается так: х Î Х. А это значит, что концепт “множество” зависит от понимания “элемента множества” (х–малое) и “отношения принадлежности” (Î ). Множество — это “многое, мыслимое как целое”. Т.е. множество — не простой набор или совокупность предметов. Если мыслить множество так, то это сделал Ст. Лесьневский в своем понятии “класса” (целого) (см. его мереологию), или, если дать более точный образ, то это “куча”, где (1) предметы сохраняют свою самостоятельность, (2) выполняется условие, что целое = (любой) сумме своих частей (шар = сумме половинок, и сумме четвертей, и сумме третей (причем все эти суммы равны друг другу)) + части однотипны (в теории множеств части могут быть разнотипны); (3) части и целое имеют один и тот же онтологический статус (целое существует в том же смысле, что и части). Второй аналог отношения “часть — целое” — родо-видовые отношения. Здесь явно целое больше своих частей и имеет другой онтологический статус. (Я не знаю, формализовано ли именно это отношение в явном виде; м.б., это сделал Куайн в своей аксиоматике теории множеств NF?). Третий возможный аналог — системный подход, где целое мыслится как система частей (“целое, мыслимое как многое”), т.е. учитывается не только “материальный состав” целого, но и взаимосвязи между ними. Видимо, более важно здесь “обратное направление взгляда”: не от частей к целому, а от целого к частям, т.е. не синтез (нового) целого, а анализ (уже существующего, увиденного) целого. Четвертый подход представлен Б. Расселом. В своих работах Рассел практически отошел от первоначального понимания множества у Кантора и ввел вместо этого понятие класса. Принципиальное отличие “класса” от “множества” в том, что “класс” это “множественное The” (Рассел — англичанин), т.е. множество здесь мыслится не как нечто единое (цельное), а как множественность отдельных конкретных предметов, т.е. это “сборище” отдельных предметов, которые не образуют единого мета-предмета (множества) следующего уровня, а каждый предмет сохраняет свою самостоятельность.